Импликация

Автор: | 26.01.2021

Сразу оговорюсь, что я не специалист в области логики. Мне всегда это было интересно. Но логические операторы программирования это не логика высказываний. В программировании мы чаще используем операторы And, Or,Not, реже Xor. Но это именно операторы, а не логические высказывания. Что-то общее прослеживается только в таблицах истинности или булевой алгебре как результат.

Логика высказываний, называемая также пропозициональной логикой – раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций. Высказываниями принято считать такие предложения (написанные на “словесном” либо математическом языке), о которых можно сказать одно из двух: либо они являются истинными, либо ложными.

Языки программирования исходят из логики.

В логике мы точно можем сказать, что какое-то высказывание является истиной (например, снег белый, 2+3 = 5), а что-то ложью (например, снег теплый, 2+3 = 7).

Если речь идет о компьютерах, то истину здесь обозначают за 1, а ложь за 0. И так как у нас всего 2 варианта, приходится ими всегда оперировать.

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программы:

if ( выражение A ) {
    if ( выражение B ) {
       сделать_что-то_полезное
    }
       else {
       <font color=Red>сбой</font>
    };
 }

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A→B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.

if ( выражение A ) and ( выражение B ) {
    сделать_что-то_полезное
 }

Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Примеры высказываний:

· Москва стоит на Неве. (ложно –Л; простое)

· Лондон — столица Англии. (истинно – И; простое)

· Сокол не рыба. (истинно – И; сложное)

· Число 6 делится на 2 и на 3. (истинно – И; сложное)

Различают два вида высказываний:

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным.

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если …. то …», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.

Импликация, – это сложное высказывание или составное (Условное высказывание)

Импликация читается: «если A, то B», или «из A следует B»; записывается: A → B (здесь высказывание A называется посылкой высказывания A → B, а высказывание B — его заключением, для записи применяются также стрелки другой формы, но всегда указывающие на соотношение посылка → следствие), другое обозначение импликации: A ⊃ B; другое название импликации: логическое следование (см. Логическое следование), однако между ними есть различие — импликация как логическое выражение может принимать значения «истина» или «ложь», тогда как логическое следование A → B утверждает, что во всех случаях, когда значение A истинно, B также будет истинно.

В естественном языке импликация играет важную роль в рассуждениях и умозаключениях (см. РассуждениеУмозаключение), так как [при учитывании смыслового содержания высказываний] предполагает причинную связь между посылкой и заключением, и её истинность зависит от смысла этих высказываний. Так, в русском языке распространены следующие выражения импликации:

  • если A, то B;
  • из A следует B;
  • при A будет B;
  • в случае A произойдёт B;
  • B, так как A;
  • B, потому что A;
  • A — достаточное условие для B;
  • B — необходимое условие для A.

В математической логике обычно учитывается лишь истинность или ложность высказываний, а не смысловое содержание. Поэтому импликация обычно понимается в соответствии с истинностной таблицей:

ABA → B
ИИИ
ИЛЛ
ЛИИ
ЛЛИ
Таблица истинности

Примеры.

1. Составное высказывание «Если число 16 кратно 4, то 16 кратно 2» истинно, т.к. условие импликации «Число 16 кратно 4» истинно и заключение «Число 16 кратно 2» – истинно.

2. Составное высказывание «Если число 16 кратно 4, то 16 кратно 3» ложно, т.к. условие импликации «Число 16 кратно 4» истинно, а заключение «Число 16 кратно 3» – ложно.

3. Составное высказывание «Если число 2∙5=9, то 2>9» истинно, т.к. условие и заключение импликации ложны.

4. Составное высказывание «Если вода в реке соленая, то 2∙2=4» – истинно, т.к. условие импликации «Вода в реке соленая» ложно, а заключение «2∙2=4» – истинно.

Операция импликации высказываний А и В может быть выражена через операции отрицания и дизъюнкции, т.е. имеет место следующий закон, называемый законом исключения импликации:

(  A,B)(A -> B=Ā V B).

Читаем: «Для любых высказываний А и В импликация высказываний А и В равносильна дизъюнкции отрицания высказывания А и высказывания В».

Если заполнить таблицу истинности, то получим тот же результат.

А кроме этого следует также: «Для любых высказываний А и В импликация высказываний А и В равносильна импликации отрицания высказывания В и отрицания высказывания А».

 Рассмотрим еще одну импликацию: «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил. В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.

                        Вместе с тем необходимо отметить, что во множестве других случаев попытка отождествить импликацию с традиционным понятием логического следования может приводить к самым удивительным результатам. Так, например, в соответствии с таблицей истинности следует признать истинной следующую импликацию: «если 2*2=5, то Москва является столицей России». С точки зрения обыденной логики такая ситуация целиком абсурдна, но это мнение возникает в силу того, что человеческий разум пытается, в первую очередь, придать импликации смысл причинной логической связи, т.е. подразумевается, что заключение может быть выведено из посылки на основании каких-то логических рассуждений. Однако абсолютная чужеродность посылки и заключения оставляет лишь одну возможность – руководствоваться формальным определением импликации.

Поскольку логика отвлекается от связи высказываний по смыслу, истинными импликациями должны, в частности, считаться;

«Если Москва — большой город, то Луна — единственный естественный спутник Земли»,

«Если вода не является жидкостью, то химия — наука»,

«Если сила тяготения постепенно уменьшается, число административных правонарушений приближается к нулю»

В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.