Нахождение корней методом Ньютона
Давайте рассмотрим простейший пример. Пусть f(x)=x*x-2. Тогда производная этой функции будет f’(x)=2x. Попробуем вообще обойтись без геометрических построений.
Очевидно, что графиком функции f(x)=x*x-2 будет парабола y=x*x, опущенная на 2 единицы вниз. Координаты вершины параболы в точке (0;-2). Парабола будет пересекать ось Х в двух точках х1=-корень(2) и корень(2), т.е. корни будут равны + -корень(2)~+ – 1,414214
За начальное приближение Х0 возьмем значение=2.
Тогда начальное значение функции f(x)=f(2)=2. График производной является касательной к графику функции в заданной точке. (Не забывайте, что угол наклона касательной к графику равен тангенсу угла наклона).- Если из точки Х0=2 восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком функции, то она пересечет график в точке (2,2). Ордината образует вертикальную сторону треугольника, а график производной будет являться гипотенузой. Третий катет – это отрезок Х0-Х1. Зная, что производная численно равна тангенсу наклону прямой, из полученного треугольника будем иметь f'(X0)=f(X0)/(X0-X1. Решая это уравнение получим координаты точки X1=X0-f(X0)/\/f'(X0). Производя послдовательные вычисления, соответственно заменяя Х0 на Х1, получим координаты точки Х2 и т.д. Процесс итераций закончим, если разница между новым значением Хк+1 и старым Хк станет меньше наперед заданного числа эпсилон, задающего точность вычислений.
Для нашего случая попробуем последователь вычислить все значения Х.
Х0=2 f(2)=2*2-2=2 f'(2)=2*2 X1==2-2/4=1,5
Х1=1,5 f(1,5)=1,5*1,5-2=0,25 f’(1,5)=2*1,5=3 X2=1,5-0,25/3=1,41667
X2=1,416667 f(1,41667)= 0,006944 f’(1,91667)= 2,833333 X3=1,414216
X3=1,414216 f(1,414216)= 6,0073E-06 f’1,414216)= 2,828431 X4=1,414214
И уже на 4-ой итерации один из корней фактически найден. Для нахождения второго корня достаточно задать новое начальное значение = -2
Рисунок и теорию достаточно посмотреть, например, здесь http://www.bestreferat.ru/referat-258487.html или здесь
Примеры нахождения корней методом Ньютона, разобранные в примерах Обращаю ещё раз внимание на то, что необходимо определит в начале диапазон поиска корня, в чем помогает построение графика.
Метод Рыбакова Метод Ньютона Метод деления пополам